미분방정식 (Differential Equation) 의 응용 예
간단한 문제를 통해 미분방정식에 대한 개념과 그 풀이과정을 자세히 알아보겠습니다
미분방정식
한개의 이상의 도함수를 포함하고 있는 방정식을 미분방정식이라고 한다. 일반적으로 미분방정식에는 종속변수, 독립변수, 미지의 함수, 미지의 함수에 대한 도함수가 포함되어 있다.
함수를 미분하여 구해지는 도함수가 의미하는 것은 기하학적으로는 원시함수의 접선의 기울기를 나타내며 원시함수 그래프의 특정 지점에서 x 축 값의 변화량에 대한 y축 값의 변화율(비율)을 의미한다. 미분방정식은 어떤 함수의 입력값에 대한 출력값의 비율(도함수)을 포함하고 있으며 미분방정식에 포함된 도함수를 적분하면 해를 구할 수 있다.
과학에서 많은 문제들이 미분방정식의 해를 구하는 것으로 해결된다.
미분방정식의 해를 구하는 일반적인 방법은 미분의 역과정인 적분을 이용하는 것이다
미분방정식에는 도함수(미분)가 포함되어 있기 때문에 미분의 역과정인 적분을 사용하는 것이다.
미분방정식의 해를 구하기 위해 적분법이 사용되는 한 예
위의 식은 도함수가 포함되어 있으므로 미분 방정식이라고 할수 있으며 어떤 함수를 한번 미분한 결과가 0 이라는 의미이다.
우리는 상수(c)를 미분한 결과가 0 이 된다는 것을 알고 있다
그러므로 미분하기 전의 함수는 y = c 이라고 할 수 있다. 즉, 위의 미분방정식의 해는 y = c 라고 할 수 있는데, 이 해는 위에 제시된 미분 방정식의 양변을 적분한 결과와 동일한 것을 확인할 수 있다.
여기서 확인한 것과 같이 미분 방정식의 해를 구하는 방법에는 적분법이 사용되는 것을 알 수 있다.
함수를 한번 미분한 도함수를 포함한 1계 미분방정식의 표현 (음함수 형식으로 나타낸 경우)
x : 입력값(독립변수)
y : 출력값(종속변수, 미지의 함수)
y' :변화율 ( 입력에 대한 출력의 비, 도함수 )
위의 표현 중에서 y' 부분을 아래처럼 달리 표현할 수도 있다
즉 미분방정식이란 ‘x값에 따라 y′ 비율로 y 값이 변하는 시스템’이라고 할 수 있으며 미분방정식의 해를 구한다는 것은 위의 식에서 y (입력에 대하여 출력비(도함수)를 적용하여 출력값을 결정하는 함수) 를 구하는 일이다. 다른 표현으로 설명하자면, 주어진 미분방정식을 만족하는 독립변수와 종속변수의 관계식을 구하는 일이다.
그리고 위의 식을 다음과 같이 표현하기도 한다.
미분방정식의 표준형 ( 도함수에 대해서 정리한 표현)
아래도 같은 표현이다
아래와 같은 미분방정식의 해는 미지의 함수 y를 구하면 되는데, y 함수의 도함수는 주어져 있기 때문에 적분법을 이용하여 미지의 함수를 구할 수 있다
아래처럼 독립변수(x)와 종속변수(y)의 관계식으로 미지의 함수인 y (미분방정식의 해)를 나타낼 수 있다
문제
뉴턴의 제2법칙을 이용하여 정지해 있는 10kg의 물체를 5N의 힘으로 계속 미는 경우, 10초 후의 속도를 계산하라.
F = ma 법칙을 활용하여 속도를 구해야 하는데, a 는 가속도이고 속도를 미분한 값이며 거리를 시간으로 미분하여 속도가 계산된 것이므로 가속도(a)는 2번 미분한 값이다. 그러므로 F = ma 라는 식은 미분방정식이라는 것을 알 수 있다.
F = ma 에 포함된 2계 미분값인 a 의 원시함수를 구하면 그 해를 구할 수 있고 그 해가 의미하는 것은 속도함수 v(t) 이므로 이 문제에서 제시한 속도를 구할 수 있다.
뉴튼의 제2법칙
F = ma
F:힘, m:중량, a:가속도
풀이
뉴튼의 제2법칙에 따르면 가속도는 아래처럼 표현할 수도 있다
가속도(a) 는 속도(v)를 시간(t)으로 미분한 것이므로 결국 다음과 같이 표현할 수 있다
미분값(도함수)을 포함한 미분방정식
위의 식은 미분값(도함수)이 포함된 미분방정식이므로 미분방정식의 해를 구하는 방법인 적분을 이용하면 되지만,
속도를 시간으로 미분하여 가속도가 나온 것이므로 반대로 가속도를 시간에 대하여 적분하면 속도를 구할 수 있다는 것을 생각하면 된다
위의 미분방정식에 대한 일반해
위에서 구한 해는 일반해이며 위의 식에 포함된 상수 C 의 값을 알 수 있다면 시간 t 에 10(초)를 대입하여 속도를 구할 수 있다.
상수 C를 구하려면 초기값이 필요한데, 힘이 가해지는 0초에서의 속도는 0이므로 시간 t 에 0을 대입했을 때 결과값(속도)이 0 이 나오는 경우의 C의 값을 구하면 된다.
초기값을 이용하여 상수 C 구하기
변수 t 에 특정값(시간)을 할당했을 때의 해를 특수해라고 한다.
위의 미분방정식의 특수해는 다음과 같이 표현할 수 있다
위의 미분방정식에 대한 특수해
그러므로 10초 후의 속도는 다음과 같은 방법으로 구할 수 있다.
특수해를 이용하여 특정시간에 대한 속도 구하기
미분방정식 응용문제
다음 문제를 변수분리형 미분방정식으로 그 해를 구하시오.
원통형 물 탱크에 물이 가득 차 있고, 원통 단면의 넓이가 
물탱크의 중앙 바닥에는 구멍이 있고 구멍의 크기는 
구멍으로 부터 물이 빠져 나가고 있고 탱크 바닥으로부터 수면까지 높이가 y(m)일 때 빠져나가는 물의 속력 v(m/s )은 
이식을 이용하여 물의 높이가 5(m) 에서 5/4(m)에 이르기까지 걸리는 시간을 구하시오.
풀이
구멍을 통해 빠져나간 물기둥의 전체 길이를 h 라고 하면, 빠져나간 물의 전체 부피는 다음과 같이 계산할 수 있다
위의 식의 양변을 y 에 대해서 미분하면....
변수분리형 해법을 적용하면
양변을 적분하면....
이때 t=0 일때 y=5 이므로 c = -600
물의 높이가 5/4 로 줄어들 때, 즉 y=5/4 일 때 t 값을 구하면...
-300 = t - 600
따라서 t = 300 이다