미적분 응용 예제

미적분의 개념을 분명히 이해하기 위한 적분 응용 예제

개요

적분의 공식을 암기하고 주어진 함수를 적분공식에 따라서 계산하는 것만으로는 적분의 개념을 파악하기가 어려울 뿐만 아니라 그렇게 암기한 적분공식을 응용할 수도 없게된다. 여기서는 간단한 예제를 통해 왜 적분이 필요하고 적분을 적용해야 하는 곳은 어디인지 생각해 보려고 한다

미분 ( x 변화량(무한소)에 대한 y의 변화율)

y = f(x)

위와같이 정의된 함수가 있을 때, 그 의미는 x 의 값이 결정되면 y의 값은 함수가 정의한 식에 따라서 결정된다.

그러므로 x 를 독립변수, y를 종속변수라고 한다

미분의 개념을 이해하기 위해서는 미분의 기하학적 의미를 알아보는 것이 도움이된다

함수의 x 증가분()에 따라서 변화되는 y의 증가분()이 있을 때,는 나누기이므로 변화율을 의미한다

 를 무한히 작게 하면 x의 무한소 구간에서의 변화율을 의미하고 한 지점에서의 변화율이라고 해도 될 정도가 된다

이 때 x 의 무한소 변화량을 dx, 그리고 dx 에 따라서 변하는 y의 무한소 변화량은 dy 라고 하며, 는 무한소 구간에서의 변화율을 의미한다

 는 dy를 dx로 나눈다는 의미이므로 dx (x의 무한소 변화량)에 대한 dy (y의 무한소 변화량)의 변화율(기울기)인 것이다.

무한소 구간에서의 y 변화율은 ,, 등으로 나타낼 수 있고 이들은 모두 동일한 의미를 가진다

함수의 순간 변화율을 구하기 위한 절차를 미분한다고 하고 그 결과로 도함수를 얻게 되는데 도함수는 원래 함수의 순간 변화율을 의미하고 함수의 그래프 상에서 특정지점에서의 기울기를 나타낸다

적분 ( y의 무한소 변화량(dy)의 합 )

적분의 정확한 개념을 이해하기 위해서는 미분의 경우처럼 적분의 기하학적 의미를 분명하게 파악하는 것이 중요하다

미분의 정의에 따르면 이므로  dy (y의 무한소 변화량)은 다음과 같은 식으로 표현할 수 있다

이 때 f'(x) 는 함수 f(x)의 도함수(미분, 극소 변화율)를 의미한다.

위의 식은 도함수(f'(x) )에 dx (x의 무한소 변화량)을 곱하면 dy를 구할 수 있다는 것을 의미한다.

이렇게 해서 구한 dy를 모두 합한다면 y 전체의 변화량을 구할 수 있고 이를 식으로 표현하면 다음과 같은 적분식을 얻게 된다.

위의 식을 적분법에 따라서 풀면 미분하기 전의 원래 함수(원시함수, 부정적분)를 구할 수 있다. 즉, 적분법은 어떤 함수가 미분과정을 거쳐서 도함수(변화율)가 나왔을 때 그 도함수(순간 변화율)로부터 원시함수를 구하는 절차이다.

위의 적분식에서 한가지 주의할점은 사용된 도함수가 함수인지 도함수인지 겉으로 드러나지 않지만 분명히 도함수라는 인식을 가질 필요가 있다

예를 들어, f(x) = x^2 으로 정의된 함수가 있을 때 이 함수를 미분하면 2x 가 되고, 2x를 다시 적분하면 x^2을 얻을 수 있다

문제

속도가 시간에 따라 변하는 물체가 있다고 할 때, 속도함수는 v (t) = 2t + 1 으로 정의되어 있다면

물체가 시간(t)이 0초 일 때 원점에서 출발하여  이동할 때 10초 후의 거리는 얼마나 되는가?

풀이

이동거리에 대해 시간으로 미분하면 속도를 얻을 수 있고, 반대로 속도를  시간에 대해 적분하면 이동거리를 계산할 수 있다.

상수 C 의 값 구하기

위의 적분된 결과식에서 상수 C의 값을 먼저 구해보면....

문제에서 0초일 때 거리가 0 이므로 t 에 0 을 대입했을 때 0 이 되어야 한다

t = 10 을 대입하면 10초 경과 후의 이동거리를 얻을 수 있다