변수분리형 미분방정식 예

미분 방정식의 일반해와 특수해를 구하는 절차를 통해서 미분 방정식의 개념을 이해할 수 있다

다음과 같은 방정식을 통해 미분 방정식을 유도하고 그 미분 방정식의 해를 구하면 원래의 식을 구할수 있다

                            .................   식 1

위의 식 양변을 x에 관해서 미분하면 아래와 같다 ( 식 2)

즉, 아래의 식은 어떤 함수의 도함수(순간변화율)을 식에 포함하고 있으므로 미분 방정식이라고 할 수 있다

                ................... 식 2

위의 식을 적당히 정리하면 가장 일반적인 미분 방정식의 형태인 미분 대수 방정식 형태가 될 수 있다.

참고: 미분 대수 방정식의 형태

미분 방정식의 일반적인 형태를 이용해서는 해를 구하기가 어렵기 때문에 위의 식을 상미분 방정식의 표준형으로 변환할 필요가 있다.

위의 식을 상미분 방정식의 표준형으로 만들기 위해 다음과 같은 절차를 수행한다

참고: 상미분 방정식의 표준형

위의 식 2 에서 양변에 -1을 더하고 을 더해서 아래의 식(식 3)을 얻는다

               ...................... 식 3

위의 식의 양변을 으로 나누면 다음과 같은 미분 방정식(상미분 방정식의 표준형)을 얻을 수 있다 (식 4)

                          ...................... 식 4

위의 미분 방정식(식 4)의 해를 구하면 미분방정식이 유도된 원래의 식을 확인할 수 있다

변수분리형으로 미분방정식의 해를 구하기 위해서 y 는 왼쪽으로 x 는 오른쪽으로 분리하는 절차를 수행한다.

변수를 분리하는 이유는 양변에 각각 적분을 적용할 수 있도록 식을 정리하는 것이다

위의 식 양변에 을 곱해서 다음 식을 얻는다 (식 5)

             ....................... 식 5

위의 식(식 5)의 양변에 dx 를 곱해서 다음 식(식 6)을 얻는다. 아래의 식은 변수 x, y 가 양측으로 분리된 형태이다

          ....................... 식 6

위의 식 양변에 각각 적분을 취하여 정리한다. 변수가 분리되면 적분을 적용할 준비가 된 것으로 볼 수 있다

위의 결과는 맨 위에 있는 미분 방정식을 유도한 초기의 방정식(식 1)과 일치하는 것을 확인할 수 있다

이를 미분 방정식의 일반해 (General Solution)이라고 한다

일반해에서는 상수항의 값을 알 수 없기 때문에 A 와 같이 표현으로 상수를 표현하고 있다.

특수해(Particular Solution) 구하기

만약에 미분 방정식의 문제에 x, y의 초기값이 주어져 있다면 일반해에 x, y 값을 대입하여 상수의 값을 구할 수 있다.

미분 방정식의 특수해는 일반해에서 미지수로 처리되었던 상수항의 값까지 표현한 것을 말한다

x = 1, y = 0 이라면...

위에서 구한 일반해에 x, y의 초기값을 대입하여 상수항 A 의 값을 구한다

위에서 구한 결과식을 미분 방정식의 특수해라고 한다

특수해는 원래의 식(식 1)과 일치함을 알 수 있다