자유낙하 미분방정식 모델링

물체가 자유낙하할 때 중력가속도와 공기저항을 고려하여 미분방정식을 모델링하는 예

공기중에서 물체가 운동할 때 받게 되는 저항력은 복잡한 계수 및 상수들을 사용하여 나타낼 수 있으나 중요한 계수와 상수만을 사용하여 다음과 같이 간단하게 적용하기로 한다.

여기서 구하려고 하는 것은 속도의 미분인 가속도(a)와 뉴튼의 제2 운동의 법칙(F=ma)을 이용하여 미분방정식을 세우고 가속도의 원시함수(부정적분)인 속도함수를 구하는 것이다. 미분방정식에 중력가속도(g)가 포함되고 그 미분방정식의 해를 구하여 낙하속도를 결정하는 속도함수, V(t)를 구할 수 있다.

Fd = bv

Fd : 항력

b : 항력계수, 여기서는 임의로 0.5로 적용함

v : 물체의 속도

위의 식에서 알 수 있듯이 속도가 증가할수로 저항도 증가하는데, 속도의 제곱에 비례하므로 속도가 어느 점에 도달하면 더 이상 속도가 증가하지 않고 그 속도를 유지하게 된다.

자유낙하하는 물체에 작용하는 힘은 물체의 중량(m), 중력가속도(g), 공기저항(F)이므로 이들 사이의 관계를 알아보자

중력가속도(g) : 9.8 m/s

a : 가속도

F = ma (저항을 고려하지 않은 경우의 힘)

뉴튼의 힘에 관한 제2 법칙에 따르면 힘(F)은 물체의 중량(m)과 가속도(a)의 곱이므로 자유낙하하는 물체에 작용하는 힘은 중량과 가속도가 항상 일정하므로저항을 무시한다면 처음이나 나중이나 항상 일정하다는 것을 알 수 있다. 그런데 저항은 속도의 제곱에 비례하여 증가하므로 낙하하는 물체에 작용하는 전체의 힘은 점차 줄어들게 된다. 낙하하는 물체의 힘이 줄어든다는 것은 물체의 중량은 변경될 수 없으므로 결국 가속도가 줄어들어서 결국 0에 이르게 될 것이다.

자유낙하하는 물체가 얻을 수 있는 최고의 속도를 종지속도(Terminal Speed)라고 한다.

자유낙하하는 물체가 종지속도에 이르면 가속도는 0 이 되므로 계속 증가하던 낙하속도는 일정하게 유지될 것이다.

저항을 고려한 힘의 계산

F = ma

ma = mg - bv

위의 식을 기반으로 자유낙하하는 물체의 속도를 구해보면 종지속도에 이르러서 더 이상 속도가 증가하지 않는다는 것을 확인할 수도 있을 것이다.

위의 식에서 가속도 a는 속도를 미분한 결과이므로 dv/dt 으로 대치할 수 있고 미분값을 가진 방정식이므로 미분방정식이라고 할 수 있다.

미분방정식의 표준형으로 변환

F = ma = mg-bv

ma = mg-bv

양변을 m으로 나누면 가속도(a)에 관하여 정리한 식을 얻을 수 있다