Vector Functions

벡터함수 (Vector Valued Functions, Vector Functions)

벡터함수

벡터함수란 함수의 정의역, 치역이 있을 때 함수의 치역이 벡터로 표현되는 함수를 말한다. 벡터함수의 입력변수는 벡터일 수도 있고 스칼라 값일 수도 있다. 벡터함수의 치역으로 정의된 벡터의 차원(2차원, 3차원 등)은 제한되지 않는다

예를 들어, 시간(t)이 지남에 따라 위치가 달라지는 물체를 시간함수로 표현하면 다음과 같은 벡터함수로 나타낼 수 있을 것이다

i, j, k는 각 축의 단위벡터(Unit Vector)이며 t는 시간을 의미한다

혹은 아래와 같이 표현하기도 한다

는 함수(X축 성분함수)의 값(스칼라)과 i (일반적으로 X축의 단위벡터)를 곱하는 형식이므로 X 방향의 크기가 설정된 벡터를 의미하는 벡터이고

는 함수(Y축 성분함수)의 값(스칼라)과 j (일반적으로 Y축의 단위벡터)를 곱하는 형식이므로 Y 축 방향의 크기가 설정된 벡터를 의미한다.

그러므로 는 시간에 따른 위치를 정의할 때 벡터를 사용한 것이므로 는 벡터함수라고 할 수 있다.

벡터함수를 정의할 때 벡터의 차원을 제한하지 않으므로 X, Y축 뿐만 아니라 Z축을 나타내는 와 같은 3차원 벡터도 표현할 수 있다

벡터장(Vector Field)

참고로, 시간이나 공간을 나타낸 좌표의 각 점에서의 물리량을 벡터로 표시한 것을 벡터장(Vector Field)라고 하는데, 각 점의 좌표를 입력하면 그 지점에서의 물리량을 벡터로 표현하는 것은 벡터함수이며 이러한 경우의 벡터함수(Vector Valued Functions)를 벡터장이라고 한다

벡터함수의 편미분

벡터함수를 구성하는 성분함수가 스칼라 값을 입력받는 경우에는 각 축의 함수를 각각 아래와 같이 미분할 수 있다

위와같이 벡터함수의 각 성분함수를 미분한다는 것은 시간으로 거리를 나눈 것이므로 그 결과는 속도를 나타내는 또 다른 벡터함수가 산출되는데 결과함수는 시간을 입력하면 각축의 이동거리를 벡터로 리턴하는 속도함수, v(t) 가 될 것이다

마찬가지로 속도를 나타내는 v(t) 함수를 다시 시간으로 미분하면 각축 상의 가속도를 나타내는 벡터함수 a(t)를 얻을 수 있다