벡터 편미분, 경도 구하기

벡터함수의 편미분과 경도(Gradient)의 의미

https://en.wikipedia.org/wiki/Gradient

위치에 따라 물리량의 크기가 변화하는 공간에서 변화가 가장 급격히 일어나는 방향과 그 크기를 벡터로 표현한 것

예를 들어, 산의 고도를 표시할 때 등고선으로 나타내는데 고도가 완만하게 변화하는 부분에서는 등고선의 간격이 넓게 나타나고

등고선의 간격이 조밀한 곳은 급격히 고도가 변화하는 부분을 의미한다

정의역으로 지정된 위치에서 어느 방향이 가장 급한 경사(변화)를 이루며 그 경사(변화)의 크기는 얼마인지를 나타내는 벡터를 말한다

아래의 그림을 보면 경도(Gradient)에 대해서 시각적으로 더 쉽게 이해할 수 있다.

그림의 메쉬(Mesh)는 굴곡(변화)이 있는 표면을 나타내고 메쉬 아래의 평면에는 메쉬에서의 경도(Gradient)를 나타낸 벡터장이 투영되어 있다. 메쉬 표면의 한 점에서 고도의 변화가 가장 급격히 일어나는 부분에는 그 방향과 변화의 크기를 나타내는 벡터가 다른 벡터보다 더 길게 나타나 있다. 아래 그림에서 메쉬는 다음과 같은 함수로 표현된 것이다  

f(x,y) = −(cos²x + cos²y)²  

경도(Gradient)를 이용하면 컴퓨터로 생성한 화면상의 지형 위에 놓인 공이 어디를 향해 얼마나 빠르게 굴러가야 하는지 계산할 수도 있을 것 같다.

위의 메쉬를 표현한 함수를 벡터 편미분 연산자를 사용하여 미분하면 표면의 각 점에서의 경도를 나타내는 벡터를 구할 수 있다

^{벡터 편미분 연산자 (역삼각형 모양, 나블라 혹은 델로 읽는다)}

함수를 벡터 편미분 연자를 적용하여 경도를 구하는 식

^{벡터 편미분 연산자를 이용한 Gradient(경도) 계산}

^{다변수 함수가 다음과 같이 정의되어 있을 때,}

^{위의 함수에 벡터 편미분 연산자를 적용한 예}