Vector Divergence Operator
벡터의 편미분, 발산(Divergence)
발산(Divergence, 發散)
- 사전적 의미 : 냄새, 빛, 열 따위가 사방으로 퍼져 나감
벡터 미적분학에서 발산의 정의
벡터장이 정의된 공간의 한 점에서의 장이 퍼져 나오는지, 아니면 모여서 없어지는지의 정도를 측정하는 연산자이다.
발산의 실제적인 의미를 가스탱크와 진공청소기의 예를 통해 이해하자
예를 들어, 가스 탱크가 폭발하는 경우에는 폭발지점으로부터 입자들이 퍼저 나가는 정도가 우세할 것이고, 진공 청소기와 같이 주변 공기를 흡입하는 경우에는 사방에서 모여드는 정도가 더 우세할 것이다. 어느 한 지점에서 퍼져 나가는 정도가 우세하면 발산 값은 양수가 되고, 들어오는 경우가 우세하면 음수가 되며, 0인 경우에는 이동이 없거나 이동은 있지만 나가고 들어오는 정도가 동일한 경우이다
벡터함수로부터 발산의 정도를 알 수 있다
압축된 기체가 퍼져 나가는 공간(벡터장)의 임의의 한 점에서 기체가 퍼져 나가는 방향과 속도를 나타낸 벡터를 정의하는 벡터함수가 있다고 할 때, 이 벡터함수로부터 우리는 기체가 어느 한 점을 기준으로 퍼져 나가는 정도가 우세한지, 아니면 사방에서 모여드는 정도가 우세한지 그 크기(속도,세기)는 얼마인지를 숫자로 나타낼 수가 있다
벡터의 발산 연산자를 이용하여 벡터함수를 편미분하면 그 결과 값(스칼라)으로 발산의 정도를 알 수 있는데, 양수이면 기준 점에서 퍼져 나가는 정도가 우세한 상태이고, 음수이면 모여들고 있는 정도가 우세한 상태이며, 0 이면 발산이 없는 상태인데, 발산이 0 이라는 의미는 흐름이 전혀 없는 상태와 흐름은 있지만 퍼져 나가는 정도와 모여 들어오는 정도가 동일하여 그 차이가 없는 경우도 포함된다
벡터의 발산을 계산하면 그 결과는 벡터가 아닌 스칼라 값으로 산출된다
벡터의 발산 연산
벡터함수 F가 아래와 같이 정의될 때 벡터 편미분 연산자를 사용하여 발산을 구하는 경우 아래와 같이 계산하며 그 결과는 스칼라값으로 산출된다
좀더 간략한 표현은 아래와 같이 할 수 있다
벡터함수의 발산 계산 예 (벡터함수 F에 벡터 편미분 연산자
어느 한 점에서 발산의 정도가 0 이라는 의미는 다음과 같은 내용이 포함된다
벡터의 크기가 0인 경우
벡터의 크기가 0은 아니지만 유입되는 벡터와 유출되는 벡터의 크기가 동일한 경우
위의 계산 예에서 발산의 정도가 0 인 위치는?
발산의 정도가 0 인 좌표를 찾으려면 벡터의 크기가 0 인 경우도 포함되므로 벡터함수의 x축 벡터의 크기()가 0 이고, y축 벡터의 크기도 0인 좌표(x, y)를 찾으면 된다
x축 벡터인 x^2-3x+2=0 를 놓고 좌변을 인수분해하면 방정식의 값이 0 이 되는 x의 값을 찾을 수 있다
마찬가지로, y축 벡터인 y^2-3y+2=0으로 놓고 인수분해하면 y의 값을 찾을 수 있다
그러므로 아래의 4개 위치는 최소한 발산의 정도가 0인 위치에 포함된다.
(1, 1), (1, 2)
(2, 1), (2, 2)
그 외의 위치에서도 발산의 정도가 0인 점을 찾을 수 있는데, 발산의 정도를 나타내는 결과식(2x + 2y - 6)을 이용하면 특정 위치에서 발산의 정도가 얼마인지 확인할 수 있다
발산의 결과식을 통해 발산의 정도가 0인 위치를 찾으려면 다음과 같이 결과식의 값이 0인 좌표를 찾으면 된다
2x + 2y - 6 = 0
x + y - 3 = 0
y = 3-x
위의 결과에서, y = 3-x 일 경우에는 발산의 정도가 0이므로 x에 값을 대입하면 아래의 좌표에서도 발산의 정도가 0이 된다는 것을 알 수 있다
(1, 2), (2, 1), (3, 0)
실수 범위에서 해를 찾는다면 발산의 정도가 0인 위치는 무수히 많다.
y=3-x 조건을 만족하는 위치에서는 발산의 정도가 0이 되므로 퍼져 나가거나 반대로 모여 들어오는 상태가 동일한 상황이 되며,
y>3-x 조건이 되는 위치에서 발산 정도가 양수가 되어 밖으로 퍼져 나가는 정도가 우세하고,
반대로 y<3-x 조건을 만족하는 위치에서는 발산 정도가 음수가 되므로 안으로 모여드는 상태가 우세한 상황이 된다
위의 발산계산 결과를 벡터장 그림으로 표시해보면, 아래 그림에서 적색으로 표시한 부분은 발산의 정도가 0인 위치이다
주의
발산의 정도가 0이라는 의미는 퍼저나가는 정도와 모여 들어오는 정도의 차이가 없는 상태를 의미한다. 그러므로 어느 한 점에서 퍼져 나가는 정도와 모여 들어오는 정도가 동일하다면 발산의 정도는 0이 되는 것이다.
좀더 쉽게 물의 흐름을 통해 발산의 정도가 0인 상태를 설명해보면, 물이 일정한 굵기의 파이프 안에서 흘러갈 때 파이프의 어느 한 지점에서 측정했을 때 흘러 들어오는 벡터의 크기와 흘러 나가는 벡터의 크기가 동일하다면 그 지점에서의 발산의 정도는 0이다