벡터의 편미분, 회전 연산자 ( Curl )
벡터함수(벡터장)에 벡터회전 연산자(Curl)를 적용하면 벡터장 내의 벡터들의 회전성(회전의 방향과 세기)을 확인할 수 있다.
아래의 사이트를 참고하여 벡터회전 연산자의 개념과 사용법에 대하여 정리한다
참고 사이트
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/CrossProduct.aspx
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/CurlDivergence.aspx
벡터함수
벡터함수 F 가 다음과 같이 정의되어 있을 때,
Fx, Fy, Fz는 벡터함수의 각축 성분함수이고, i, j, k는 각축의 단위벡터이다
벡터 회전(Curl) 연산자
벡터 편미분 연산자를 이용하여 벡터함수의 회전성(Curl)을 구하는 경우에는 다음과 같이 벡터함수의 각 성분을 편미분하여 계산한다
i, j, k는 축 x, y, z의 단위벡터이다
벡터의 외적과 같은 계산법을 사용하므로 계산 결과는 벡터장의 방향과 수직인 방향의 새로운 벡터들을 정의할 또 다른 벡터함수가 산출된다
계산결과로 산출된 벡터함수를 통해 해당 벡터장에 대한 회전의 세기와 방향을 알 수 있다
벡터장의 회전성이란?
우선 벡터장(Vector Field)이라고 하면 좌표공간의 각 점에 해당하는 물리량을 벡터로 표현하기 위해 위치(좌표)를 입력하면 해당 위치에서의 벡터를 정의하는 벡터함수(Vector Valued Function)를 의미한다. 즉 이러한 벡터함수가 있기 때문에 공간의 어떤 점이라도 그 점에서의 물리량을 벡터로 표현할 수 있는 것이다. 벡터장 내의 모든 벡터가 벡터장 내의 어떤 점을 기준으로 회전하고 있을 때 벡터장 내의 각 점에서 회전의 세기와 회전의 방향을 회전성이라고 하는데, Curl 연산자를 사용하여 계산으로 확인할 수 있다
벡터함수에 Curl 연산자를 적용하여 회전축과 회전의 세기, 회전의 방향을 확인하는 간단한 예
벡터함수 F 가 다음과 같이 정의 될 때,
계산결과로 나온 -2k 는 벡터장 내의 각 위치에 있는 벡터들의 회전성을 나타내고 있는데, 여기서는 모든 벡터들이 동일하게 회전의 세기가 -2이고 회전축은 k가 된다. 물론 회전의 방향도 알 수가 있는데, -2k 에서 음수/양수 의 값은 회전방향이 반대로 나타난다. 정방향/역방향의 기준은 오른손좌표계인지 왼손좌표계인지에 따라서 회전방향이 달라진다. 위의 계산결과 -2k 는 Z축을 중심으로 음의 방향으로 회전하므로 오른손 좌표계에서는 시계방향으로 회전하게 된다
위의 계산에 사용된 벡터함수(벡터장)와 회전연산자(Curl)를 이용하여 벡터장 내의 각 벡터들의 회전성을 확인하여 표시한 그림
왼편의 그림은 벡터함수에 의해 벡터장 내에 표시된 벡터들이며, 왼쪽의 그림은 벡터함수에 Curl 연산자를 적용하여 각 벡터들의 회전성을 표시한 것이다.
왼편의 그림은 위의 벡터함수에 의해 정의된 벡터를 좌표평면에 표시한 것인데, 우리가 시각적으로 보더라도 시계방향으로 모든 벡터들이 회전하고 있는 것을 알 수 있다. 이처럼 벡터들의 회전성을 시각적으로 표현하는 것이 아니라 정량적으로 표현할 수 있다면 컴퓨터를 사용하여 회전을 표현하는데 더 큰 도움이 될 것이다. 벡터의 회전연산자를 사용하면 벡터함수를 대상으로 벡터장 내의 벡터들의 회전성(회전축, 회전방향, 회전의 세기)을 정량적으로 표현할 수 있다. 여기서 오른편의 그림은 벡터장 내의 벡터들이 가지는 회전성을 정량적으로 나타낸 것인데 회전축, 회전방향, 회전의 세기를 시각적으로 보여주고 있다
오른손 좌표계란?
오른손 좌표체계에서는 Z축을 오른손으로 잡고 엄지손가락을 Z축의 값이 증가하는 방향과 평행하게 하면 Z축을 쥐고 있는 나머지 손가락이 회전방향(정방향, +회전방향)을 가리키게 된다
벡터회전(Curl)을 계산하는 또 다른 예
벡터함수 F가 다음과 같이 정의되었을 때 Curl 연산자를 적용하여 회전성을 구하는 예
위의 벡터회전성(Curl) 계산결과는 0이 아니므로 계산에 사용된 벡터장은 회전하고 있으며 회전의 세기와 방향은 x, y, z에 실제 좌표값을 대입하면 알 수 있다. 벡터의 회전성 계산결과도 벡터함수로 산출되므로 x, y, z 변수에 각각 1,2,3을 대입하여 회전의 세기와 방향을 나타내는 벡터를 확인할 수 있다. 벡터의 크기는 회전의 세기를 나타내고 벡터의 방향은 회전의 방향을 나타낸다
참고 ( 벡터의 외적 계산법 )
벡터의 외적 계산법을 미리 알아두면, Curl 연산자의 사용법에 대해서도 쉽게 이해할 수 있다
벡터 A, B가 다음과 같은 성분으로 구성되었을 때, 두 벡터의 외적(Cross Product)는 아래과 같은 방법으로 계산된다
방법 1
방법 2, 행렬을 이용하여 좀더 쉽게 생각하기
