라플라스 연산자(Laplacian Operator)
jem_graddivcurl.pdf
라플라스 연산자는 위의 기호가 말해주듯이 Divergence of Gradient 이다. 이 연산자를 어렴풋이라도 이해하기 위해서는 벡터의 발산(Divergence)과 경도(Gradient)에 대해서 잘 이해하고 있어야 한다. 이해를 돕기 위해 누군가의 설명을 여기에 옮겨본다
From : http://physics.stackexchange.com/questions/20714/laplace-operators-interpretation
The Laplacian measures what you could call the « curvature » or stress of the field. It tells you how much the value of the field differs from its average value taken over the surrounding points. This is because it is the divergence of the gradient..it tells you how much the rate of changes of the field differ from the kind of steady variation you expect in a divergence-free flow.
Gradient 연산자(
영상처리 분야에서 라플라시안 필터를 사용하여 이미지 내의 윤곽선(Edge)을 검출한 예
라플라스 연산자의 물리적 의미를 더욱 분명히 이해하려면 개념을 영상화하고 기억하면 더욱 좋을 것이다
아래의 그림은 벡터의 경도(Gradient)와 분산(Divergence)의 계산의 결과가 무엇을 의미하는지를 보여주고 있다
Gradient 연산자의 계산결과를 보여주는 그림
왼편의 벡터함수에 Gradient 연산자를 적용하여 얻은 결과는 오른편의 그림과 같이 또 다른 벡터함수가 산출되는데, 어느 한 점을 기준으로 하여 주변에서 가장 급격히 값(벡터함수의 값)이 변하는 위치와 크기를 벡터로 나타낸다
경도(Gradient)의 의미를 알게 하는 또 다른 그림
아래의 그림은 벡터장 내의 벡터들이 주변과 차이가 확실한 위치를 가리키고 있는 것을 볼 수가 있다. 마치 붉은 색의 중앙을 향해 몰려드는 멸치 떼와 같은 느낌도 들고 파란색 부분의 중심에서는 솟아나는 샘물이 사방으로 퍼져가는 듯한 생각도 든다 (이렇게 설명하면 하면 좀더 관심을 갖고 볼 수 있을 것 같아서요^^)
벡터함수에 Gradient 연산자를 적용할 경우, 계산식의 자세한 의미를 설명한 그림
발산(Divergence)의 개념을 이해하는데 도움이 되는 그림
아래의 그림은 벡터함수에 발산(Divergence) 연산자를 적용하여 얻을 수 있는 결과 값(스칼라)을 그림으로 설명한 것이다. 발산(Divergence)계산의 결과 값은 스칼라 값으로 산출되는데, 벡터장 내의 어느 한 점을 기준으로 그 점에서 입자들이 밖으로 퍼져 나가는 정도가 우세하면 양수의 값으로 나타나고, 기준 점으로 들어오는 정도가 우세하면 음수로 나타나며, 퍼져 나가는 정도와 들어오는 정도가 동일한 경우에는 0으로 나타난다
발산(Divergence)의 의미를 알게하는 또 다른 그림
지금까지 자료를 통해 개인적으로 이해한 라플라스 연산자의 개념을 정리하면,
벡터의 경도를 계산하여 벡터함수의 값이 급격히 변화하는 위치를 찾아 벡터장 내의 벡터들이 그 곳을 향하도록 설정하면 어떤 점에서 퍼져 나가거나 모여 들어오는 벡터의 흐름(벡터장)을 표현할 수 있고 그 상태에다가 발산(Divergence)를 적용하면 벡터들이 모여 들어오는 점들이나 퍼져 나가는 점들을 쉽게 정량적으로 찾을 있는 것이 라플라스 연산자이다
라플라스 연산자를 사용하는 예
